Thực đơn
Leonhard_Euler
Euler đã làm việc trong hầu hết các lĩnh vực của toán học, như hình học, số vô cùng bé (infinitesimal), vi tích phân, lượng giác, đại số, lý thuyết số, cũng như cơ học môi trường liên tục, thuyết mặt trăng và các lĩnh vực khác của vật lý học. Ông là một nhân vật tiêu biểu trong lịch sử toán học; nếu được in, các tác phẩm của ông, đa số đều là các tác phẩm cơ bản, sẽ chiếm từ 60 đến 80 pho sách.[30] Tên gọi Euler được gắn cùng rất nhiều chủ đề toán học, đến nổi trong ngành toán học có câu nói rằng các khám phá và định lý được đặt tên theo người chứng mình chúng sau Euler.[38][39]
Euler là nhà toán học duy nhất có hai số mang theo tên của ông: Số e trong vi tích phân, e, xấp xỉ 2,71828, và hằng số Euler–Mascheroni γ (gamma) đôi khi được gọi là "hằng số Euler", xấp xỉ 0.57721. Các nhà toán học vẫn chưa biết được số γ là số hữu tỉ hay số vô tỉ.[40]
Euler đã giới thiệu và phổ biến một vài khái niệm và ký hiệu quy ước thông qua các cuốn sách được lưu truyền rộng rãi của ông. Nổi bật nhất, ông giới thiệu khái niệm hàm số[4] và là người đầu tiên viết f(x) để ký hiệu hàm f áp dụng cho đối số x. Ông cũng đưa ra các ký hiệu hiện đại cho các hàm lượng giác, chữ cái e cho cơ số của logarit tự nhiên (mà ngày nay còn gọi là số Euler), chữ cái Hy Lạp Σ viết hoa cho ký hiệu tổng và chữ i ký hiệu cho đơn vị ảo.[41] Việc sử dụng chữ cái Hy Lạp π ký hiệu cho tỷ số giữa chu vi và đường kính của hình tròn cũng được phổ biến bởi Euler, mặc dù nguồn gốc của nó được nhà toán học xứ Wales William Jones đưa ra.[42]
Các nghiên cứu của Euler về hình học trên phạm vi rộng lớn bao gồm trong hình học phẳng lẫn hình học không gian. Ông tìm hiểu tính chất các đường trong tam giác với các kết quả như: định lý đường thẳng Euler,[43] định lý Euler liên hệ giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp,[44] đường tròn chín điểm trong một tam giác.[45] Ông cũng khám phá ra mối liên hệ giữa tổng bình phương các cạnh một tứ giác với tổng bình phương hai đường chéo của nó.[46] Về hình học không gian, ông đưa ra định nghĩa góc Euler[47] nhằm miêu tả phương hướng của vật rắn trong không gian 3 chiều và định lý quay vật rắn.[48]
Euler cũng tìm hiểu mối liên hệ giữa hình học và số học thông qua bài toán tìm các hình hộp chữ nhật mà cả ba cạnh và 3 đường chéo của mỗi mặt đều là các số tự nhiên.[49]
Sự phát triển của ngành giải tích vô cùng bé (infinitesimal calculus) là lĩnh vực được các nhà toán học thế kỷ 18 ưu tiên nghiên cứu hàng đầu, và các nhà toán học trong gia đình Bernoulli—những người bạn gia đình của Euler—có vai trò chính trong sự tiến triển đầu tiên của lĩnh vực. Nhờ ảnh hưởng của họ, việc nghiên cứu giải tích trở thành trọng tâm chính của Euler. Trong khi một số chứng minh của Euler không được chấp nhận nếu dựa theo các tiêu chuẩn hiện đại về mức độ chặt chẽ toán học[50] (ông đặc biệt dựa trên nguyên tắc tính tổng quát của đại số, generality of algebra), các ý tưởng của ông đã đưa đến nhiều đột phá lớn. Euler còn nổi tiếng trong ngành giải tích với việc sử dụng thường xuyên và phát triển các chuỗi lũy thừa, trong đó các hàm số được biểu diễn dưới dạng tổng vô hạn các số hạng,[51] như
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( 1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}Đặc biệt, Euler đã chứng minh trực tiếp công thức khai triển thành chuỗi lũy thừa cho e và hàm tang lượng giác ngược (chứng minh gián tiếp thông qua kỹ thuật chuỗi lũy thừa ngược đưa ra bởi Newton và Leibniz trong giai đoạn từ 1670 đến 1680). Việc táo bạo sử dụng chuỗi lũy thừa cho phép ông giải được bài toán nổi tiếng vấn đề Basel vào năm 1735 (và ông đưa ra các lập luận kỹ lưỡng hơn vào năm 1741), tính tổng các nghịch đảo bình phương các số tự nhiên:[50]
ζ ( 2 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2 ) = π 2 6 . {\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}ở đó ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} là hàm Euler zeta (không nên lầm lẫn với hàm Riemann zeta vốn không hoàn toàn giống nhau ở miền giá trị của x).
Ý nghĩa hình học của công thức EulerEuler giới thiệu cách sử dụng các hàm mũ và logarit trong các chứng minh giải tích. Ông khám phá ra cách biểu diễn nhiều hàm logarit khác nhau dưới dạng các chuỗi lũy thừa, và ông đã định nghĩa thành công logarit cho các số âm và số phức, do đó giúp mở rộng xa hơn phạm vi ứng dụng toán học của logarit.[41] Ông cũng nêu định nghĩa hàm mũ cho các số phức, và khám phá ra mối liên hệ của nó với các hàm lượng giác. Đối với một số thực φ bất kỳ (đơn vị đo theo radian), công thức Euler về hàm mũ phức được viết như sau
e i φ = cos φ + i sin φ . {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}Một trường hợp đặc biệt của công thức trên đó là đồng nhất thức Euler,
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}được nhà vật lý Richard P. Feynman coi là "công thức đáng chú ý nhất trong toán học", vì trong một công thức có xuất hiện của các phép toán cộng, nhân, lũy thừa, và dấu bằng, cũng như thể hiện mối liên hệ giữa các hằng số quan trọng 0, 1, e, i và π.[52] Năm 1988, bạn đọc của tạp chí Mathematical Intelligencer bầu chọn đây là "công thức toán học đẹp nhất từ trước đến nay". Trong số công thức được bình chọn, có 3 công thức của Euler trong tổng số 5 công thức dẫn đầu ở cuộc bình chọn này.[53]
Ngoài ra, công thức de Moivre do Abraham de Moivre khám phá ra trước đó vào năm 1707 trở thành hệ quả trực tiếp của công thức Euler.
Thêm vào đó, Euler đã nghiên cứu sâu hơn lý thuyết các hàm siêu việt (transcendental functions) bằng đưa ra hàm gamma và phương pháp mới để giải các phương trình bậc bốn. Ông cũng tìm ra một cách tính các tích phân biến số phức giúp khai phá sơ bộ cho sự phát triển của giải tích phức hiện đại. Ông phát minh ra phép tính biến phân với kết quả nổi tiếng trong ngành này, đó là phương trình Euler–Lagrange.[54]
Euler là người tiên phong sử dụng phương pháp giải tích để giải các vấn đề trong lý thuyết số. Với phương pháp này, ông đã kéo gần lại hai lĩnh vực dường như tách biệt của toán học và giới thiệu ra một ngành nghiên cứu mới, lý thuyết số giải tích. Các đột phát trong lĩnh vực này của Euler có thể liệt kê ra bao gồm chuỗi siêu hình học (hypergeometric series), q-series, hàm lượng giác hypebolic và lý thuyết giải tích liên phân số tổng quát hóa.[54] Ví dụ, ông chứng minh định lý có vô hạn số nguyên tố bằng cách sử dụng tính phân kỳ của các chuỗi điều hòa (harmonic series), và ông sử dụng phương pháp giải tích để thu thêm hiểu biết về sự phân bố của các số nguyên tố. Công trình của Euler trong lĩnh vực này dẫn đến sự phát triển của định lý số nguyên tố (prime number theorem, định lý phát biểu về sự phân bố của số nguyên tố giữa hai số nguyên dương cho trước).[55]
Mối quan tâm của Euler về lý thuyết số có thể lần lại từ ảnh hưởng của nhà toán học Christian Goldbach, một người bạn của ông ở Viện hàn lâm St. Petersburg. Nhiều tác phẩm ban đầu của Euler về lý thuyết số dựa trên các nghiên cứu của Pierre de Fermat. Euler đã phát triển một số ý tưởng của Fermat và bác bỏ một số phỏng đoán của nhà toán học này.[10][54][56]
Euler đã liên hệ bản chất của sự phân bố các số nguyên tố với các ý tưởng trong lĩnh vực giải tích. Ông chứng minh được sự phân kỳ của tổng nghịch đảo các số nguyên tố (xem Wikipedia tiếng Anh). Trong quá trình nghiên cứu tổng này, ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa hàm zeta Riemann và các số nguyên tố; mà kết quả được biết dưới dạng chứng minh của Euler về công thức tích cho hàm zeta Riemann[57][58] (xem Wikipedia tiếng Anh).
Euler chứng minh được đồng nhất thức Newton (xem Wikipedia tiếng Anh), định lý nhỏ Fermat, định lý Fermat về tổng của hai số chính phương, và có đóng góp quan trọng cho định lý Lagrange về tổng bốn bình phương (xem Wikipedia tiếng Anh). Ông phát minh ra hàm phi φ(n), số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng số nguyên n mà nguyên tố cùng nhau với n. Sử dụng các tính chất của hàm này, ông đã tổng quát hóa định lý nhỏ Fermat thành dạng mà ngày nay biết đến là định lý Euler. Ông có đóng góp đặc biệt quang trọng cho lý thuyết số hoàn hảo, lý thuyết đã làm say mê các nhà toán học từ thời Euclid. Euler đã chứng minh mối liên hệ tường minh giữa số hoàn hảo và số nguyên tố Mersenne được chứng minh trước đó bởi Euclid là quan hệ một - một, kết quả ngày nay được biết đến với định lý Euclid–Euler (mỗi số nguyên tố Mersenne sẽ cho tương ứng một số hoàn hảo, và ngược lại). Euler cũng nêu ra phỏng đoán về luật tương hỗ bậc hai. Khái niệm này được coi như là định lý cơ bản của lý thuyết số, và ý tưởng của ông đặt cơ sở cho công trình của Carl Friedrich Gauss về luật tương hỗ bậc hai sau này.[59] Năm 1772, Euler chứng minh được 231 − 1 = 2,147,483,647 là số nguyên tố Mersenne. Nó là số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến tận năm 1867.[60]
Năm 1735, Euler trình bày lời giải về bài toán nổi tiếng bảy cây cầu ở Königsberg.[61] Thành phố Königsberg, khi ấy thuộc Vương quốc Phổ nằm bên bờ sông Pregel, trong đó có hai đảo lớn được nối với nhau và với đất liền bằng 7 cây cầu. Bài toán đặt ra là liệu có con đường nào để đi liền một mạch mà mỗi lần chỉ đi qua đúng một cầu và quay trở lại điểm xuất phát. Câu trả lời là không tồn tại con đường như vậy: hay không tồn tại một đường đi Euler. Lời giải này được coi như là định lý đầu tiên trong lĩnh vực lý thuyết đồ thị, đặc biệt là lý thuyết đồ thị phẳng.[61]
Euler cũng khám phá ra công thức V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} liên hệ giữa số đỉnh, số cạnh và số mặt của một đa diện lồi,[62] và cũng được áp dụng cho đồ thị phẳng. Hằng số trong công thức này về sau được gọi là đặc trưng Euler của đồ thị (hoặc cho những đối tượng toán học), và có liên hệ với giống của đối tượng.[63] Các công trình nghiên cứu tổng quát hóa công thức này, đặc biệt bởi Cauchy[64] và L'Huilier,[65] cùng nhiều nhà toán học khác đặt cơ sở cho sự phát triển của lĩnh vực tô-pô học sau này.
Một vài thành công lớn nhất của Euler là ở giải quyết những vấn đề thực tiễn bằng phương pháp giải tích, và nghiên cứu nhiều ứng dụng của số Bernoulli, chuỗi Fourier, số Euler, hằng số e và π, liên phân số và tích phân. Ông kết hợp phép tính vi tích phân của Leibniz với phương pháp đạo hàm của Newton, và phát triển các công cụ giúp nó dễ dàng sử dụng hơn khi áp dụng giải tích vào các vấn đề thực.[51][66][67] Ông đã có cải thiện lớn trong việc tính tích phân bằng phương pháp xấp xỉ số, phát minh ra xấp xỉ Euler như được biết ngày nay. Nổi bật nhất trong những xấp xỉ này đó là phương pháp Euler và công thức Euler–Maclaurin. Ông cũng làm đơn giản hóa cách sử dụng phương trình vi phân, đặc biệt giới thiệu ra hằng số Euler–Mascheroni:
γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n − ln ( n ) ) . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}Một trong những mối quan tâm kỳ lạ của Euler đó là áp dụng các ý tưởng toán học vào trong âm nhạc. Năm 1739 ông viết cuốn Tentamen novae theoriae musicae, với hy vọng có thể đưa lý thuyết âm nhạc trở thành một bộ phận của toán học. Tuy nhiên, lĩnh vực nghiên cứu này của ông không nhận được sự quan tâm rộng rãi và từng được miêu tả như là mang quá nhiều nội dung toán học đối với các nhạc sĩ và quá nhiều nội dung âm nhạc đối với các nhà toán học.[68]
| Cơ học cổ điển | ||||||||
F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} Định luật 2 của Newton | ||||||||
Lịch sử
| ||||||||
| Cơ học môi trường liên tục | ||||||
Nguyên lý Bernoulli
| ||||||
Euler giúp phát triển phương trình dầm Euler–Bernoulli, sau này trở thành nền tảng của vật lý kỹ thuật. Bên cạnh việc ông áp dụng thành công các công cụ giải tích của mình vào các bài toán của cơ học cổ điển, Euler cũng áp dụng các kỹ thuật này cho các vấn đề của cơ học thiên thể.[69] Nghiên cứu của ông trong thiên văn học đã được nhận một số giải thưởng từ Viện hàn lâm khoa học Pháp trong sự nghiệp của mình. Thành tựu của ông bao gồm xác định độ chính xác cao quỹ đạo của các sao chổi và các thiên thể khác, tìm hiểu bản chất của sao chổi, và tính toán thị sai của Mặt Trời.[70] Các tính toán của ông cũng đóng góp cho sự phát triển của việc lập bảng kinh độ chính xác sau này.[51][54][71]
Thêm vào đó, Euler đã có những đóng góp quan trọng cho lĩnh vực quang học. Ông không tán thành lý thuyết hạt ánh sáng của Newton nêu trong cuốn Opticks, mà ở thời điểm ấy là một lý thuyết nổi bật chiếm ưu thế.[72] Các bài báo của ông trong thập niên 1740 đã giúp đảm bảo rằng lý thuyết sóng ánh sáng do Christiaan Huygens đề xuất trở lại thành một lý thuyết được chấp thuận rộng hơn, cho đến tận khi có sự phát triển của lý thuyết lượng tử về ánh sáng.[73]
Năm 1757 ông công bố một hệ phương trình quan trọng miêu tả dòng chất lưu không nhớt (inviscid flow), mà ngày nay được biết đến là phương trình Euler của cơ học chất lưu (nó là trường hợp đặc biệt của phương trình Navier-Stokes).[74] Ở dạng vi phân, các phương trình này là:
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 ∂ ( ρ u ) ∂ t + ∇ ⋅ ( u ⊗ ( ρ u ) ) + ∇ p = 0 ∂ E ∂ t + ∇ ⋅ ( u ( E + p ) ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+\nabla p=\mathbf {0} \\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}với
Euler cũng được biết đến trong cơ học kết cấu với công thức tính lực tới hạn tác dụng lên thanh đứng thẳng lý tưởng, mà tính chất chỉ phụ thuộc vào độ dài và độ cứng kháng uốn của nó:[75]
F = π 2 E I ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}với
Euler cũng sử dụng đường cong kín để minh họa các lý giải tam đoạn luận (1768). Các sơ đồ này ngày nay gọi là sơ đồ Euler.[76]
Sơ đồ EulerSơ đồ Euler là một cách biểu diễn bằng sơ đồ về các tập hợp và mối liên hệ giữa chúng. Sơ đồ Euler bao gồm các đường cong kín đơn giản (thường là hình tròn) trong mặt phẳng và biểu diễn cho các tập hợp. Mỗi đường cong kín Euler chia mặt phẳng ra thành hai vùng hoặc "miền": miền trong chứa các phần tử của tập hợp, và miền ngoài là những phần tử không thuộc tập hợp. Kích thước hoặc hình dạng của các đường cong kín không mang tính quan trọng; ý nghĩa quan trọng của sơ đồ là ở chỗ các đường cong có chung một miền. Mối liên hệ không gian giữa các miền bị chặn bởi các đường cong kín (chung một miền, chứa trong hoặc tách rời) tương ứng với các quan hệ của lý thuyết tập hợp (giao, tập con và không giao nhau). Các đường con kín mà các miền trong không giao nhau gọi là các tập không giao nhau. Hai đường cong kín có chung một miền trong biểu diễn hai tập hợp có chung các phần tử; một miền nằm bên trong hai miền khác biểu diễn các phần tử chung nhau của hai tập hợp (giao của hai tập hợp). Một đường cong kín nằm hoàn toàn bên trong một đường cong kín khác biểu diễn tập con của một tập hợp.[77][78] Sơ đồ Euler cùng với sơ đồ Venn được đưa vào nội dung giảng dạy của lý thuyết tập hợp như là một phần trong chương trình toán học mới của thập niên 1960. Kể từ đó, sơ đồ biểu diễn tập hợp đã được chấp nhận và sử dụng cho cả các lĩnh vực khác.[54][79]
Ngay cả khi nghiên cứu âm nhạc, cách tiếp cận của Euler chủ yếu dựa trên mô hình toán học. Các bài luận của ông về âm nhạc không quá nhiều (chỉ dày vài trăm trang, trong tổng số khoảng 30 nghìn trang giấy), nhưng chúng phản ánh mối bận tâm từ sớm và không rời khỏi tâm trí trong suốt cuộc đời của ông.[80]
Điểm đầu tiên trong lý thuyết âm nhạc của Euler là định nghĩa "thể loại", hay số khả năng chia một quãng tám sử dụng các số nguyên tố 3 và 5. Euler miêu tả 18 thể loại này, với định nghĩa tổng quát 2mA, trong đó A là "số biểu diễn" của thể loại (hay tổng lũy thừa các cơ số 3 và 5) và 2m (với "m là một số tùy ý, lớn hoặc nhỏ, cho đến khi vẫn còn cảm nhận được âm thanh"[81]), biểu diễn các liên hệ thỏa mãn độc lập với các số quãng tám được xét. Thể loại đầu tiên, với A = 1, chính là quãng tám (hay bản sao của nó); thể loại thứ hai, 2m.3, là quãng tám chia bởi quãng 5 (5 + 4, C–G–C); thể loại thứ 3 là 2m.5, quãng 3 trưởng + quãng 6 thứ (C–E–C); thể loại 4 là 2m.32, hai quãng 4 và một âm (C–F–B♭–C); thể loại 5 là 2m.3.5 (C–E–G–B–C); vv.[56] Các thể loại 12 (2m.33.5), 13 (2m.32.52) và 14 (2m.3.53) là những loại chỉnh cho tương ứng âm giai 7 nốt (diatonic), nửa cung (chromatic) và trùng âm của người cổ đại. Thể loại 18 (2m.33.52) là thể loại "diatonico-chromatic", "thường sử dụng trong mọi hợp âm",[82] mà trở thành đồng nhất với hệ thống miêu tả bởi Johann Mattheson.[83] Euler sau đó thử tới khả năng miêu tả các thể loại bằng việc thêm vào số nguyên tố 7.[84]
Euler nghĩ ra một đoạn nhạc đặc biệt, Speculum musicum,[85] để minh họa thể loại diatonico-chromatic,và thảo luận các con đường trong đồ thị này cho mỗi quãng nhạc cụ thể, gợi lại sự quan tâm của ông tới bài toán Bảy cây cầu Königsberg (xem ở trên). Công cụ này được áp dụng vào khái niệm Tonnetz trong lý thuyết mới của Hugo Riemann (xem thêm Dàn (âm nhạc)).[86]
Euler tiếp tục sử dụng nguyên lý biểu diễn số "lũy thừa" để đề xuất cách tìm ra gradus suavitatis (độ dễ chịu) của quãng và cung nhạc từ các hệ số nguyên tố – lưu ý rằng ông chỉ xem xét đến âm điệu, ví dụ chỉ số 1 và các số nguyên tố 3 và 5.[87] Các công thức được đề xuất mở rộng từ hệ này cho hệ chứa các số nguyên tố bất kỳ, ví dụ có dạng
ds = Σ (kipi – ki) + 1với pi là các số nguyên tố và ki là các số mũ của chúng.[54][88]
Thực đơn
Leonhard_EulerLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Leonhard_Euler